La ecuación de Malthus es una fórmula matemática que describe cómo crece una población con el tiempo.

Este modelo fue propuesto por Thomas Robert Malthus y establece que la población crece de manera exponencial en función del tiempo, siempre y cuando los recursos sean ilimitados.

En palabras sencillas, esta ecuación dice que una población (por ejemplo, de animales) crecerá exponencialmente si tiene suficiente comida y espacio, y si no hay enfermedades o depredadores que la limiten. Esto significa que la población se duplicará en intervalos de tiempo constantes, lo que lleva a un crecimiento muy rápido.

La ecuación de Malthus describe el crecimiento poblacional de manera exponencial. Matemáticamente, la ecuación se expresa de la siguiente manera:

𝑑𝑁𝑑𝑡=𝑟𝑁dtdN​=rN

Donde:

• $N$ es la población en un momento dado.
• 𝑑𝑁𝑑𝑡dtdN​ es la tasa de cambio de la población con respecto al tiempo.
• $r$ es la tasa de crecimiento per cápita de la población (constante).

Para resolver esta ecuación diferencial, integramos ambos lados:

∫1𝑁𝑑𝑁=∫𝑟 𝑑𝑡∫N1​dN=∫rdt

La integración nos da:

$\ln (N)=rt+C$

Donde $C$ es la constante de integración. Para despejar $N$, aplicamos la exponencial a ambos lados de la ecuación:

𝑁=𝑒𝑟𝑡+𝐶=𝑒𝐶⋅𝑒𝑟𝑡N=ert+C=eC⋅ert

Podemos renombrar 𝑒𝐶eC como 𝑁0N0​, que representa la población inicial cuando $t=0$:

𝑁=𝑁0𝑒𝑟𝑡N=N0​ert

Por lo tanto, la ecuación de Malthus para el crecimiento exponencial de la población es:

𝑁(𝑡)=𝑁0𝑒𝑟𝑡N(t)=N0​ert

Donde:

• $N(t)$ es la población en el tiempo $t$.
• 𝑁0N0​ es la población inicial.
• $r$ es la tasa de crecimiento per cápita.
• $t$ es el tiempo.

Esta ecuación muestra cómo la población crece exponencialmente en función del tiempo, asumiendo que la tasa de crecimiento $r$ es constante y que los recursos son ilimitados.

Por qué las poblaciones se auto regulan?

Sin embargo, en la naturaleza, este crecimiento no puede continuar indefinidamente debido a varios factores que regulan la cantidad de animales:

1. Disponibilidad de Recursos: La comida, el agua y el espacio son limitados. Cuando una población crece demasiado, los recursos se vuelven escasos, lo que limita el crecimiento y puede causar una disminución de la población.
2. Depredadores: Los animales que cazan a otros (depredadores) ayudan a controlar el tamaño de la población de sus presas. Si hay demasiadas presas, los depredadores aumentarán en número hasta que las presas disminuyan.
3. Enfermedades: Las enfermedades se propagan más fácilmente en poblaciones densas. Una alta densidad de población puede conducir a brotes de enfermedades que reducirán el número de individuos.
4. Competencia: Cuando hay más individuos, la competencia por los recursos aumenta. Los animales más débiles o menos adaptados pueden morir, lo que reduce la población.
5. Factores Ambientales: Cambios en el clima, desastres naturales y otros factores ambientales pueden afectar la cantidad de animales en una población.

Estas regulaciones naturales aseguran que las poblaciones de animales no crezcan de manera descontrolada, manteniendo un equilibrio en los ecosistemas.